リスクを下げつつリターンを大きくする分散投資の魔法とは？ー『ビジネスで使える数学の基本が１冊でざっくりわかる本』

ここに2つの株式があるものとします。A株はほぼ景気に連動して株価が動くものとします。一方、B株は悪い時に最もリターンが大きくなります。

A株のリターン
好景気：30％
普通：10％
不景気：－10％

B株のリターン
好景気：O％
普通：5％
不景気：15％

ここで景気の確率は、好景気30％、普通40％、不景気30％と予測されています。この前提でそれぞれの株式のリターンの期待値を求めると、以下のようになります。

A株：30％×0.3＋10％×0.4＋(－10％)×0.3＝10％
B株：0％×0.3＋5％×0.4＋15％×0.3＝6.5％

A株の方が、バラツキが大きい分、ハイリターンが期待されています。

これを標準偏差の考え方を用いて実際に計算してみましょう。

A株の分散＝0.3×(30－10)^2＋0.4×(10－10)^2＋0.3×(－10－10)^2＝240
A株の標準偏差＝15.5％

B株の分散＝0.3×(0－6.5)^2＋0.4×(5－6.5)^2＋0.3×(15－6.5)＝35.25
B株の標準偏差＝5.9％

質問

A株20％、B株80％のポートフォリオDを組んでみます。期待リターンと標準偏差はどのように変化するでしょうか。

Dの期待リターンは以下のようになります。

好景気：30％×0.2＋0％×0.8＝6％
普通：10％×0.2＋5％×0.8＝6％
不景気：（－10％）×0.2＋15％×0.8＝10％

リターンの期待値＝6％×0.3＋6％×0.4＋10％×0.3＝7.2％

そして、Dの分散と標準偏差は以下のようになります。

Dの分散＝0.3×(6－7.2)^2＋0.4×(6－7.2)^2＋0.3×(10－7.2)^2＝3.36
Dの標準偏差＝1.8％

驚いたことに、ポートフォリオDの標準偏差はB株だけを持っていた時の標準偏差5.9%よりもかなり低くなっています。

つまり、B株だけを持つよりも、A株を20％組み合わせることで、期待リターンが6.5％から7.2％へと上がり、かつ標準偏差（リスク）も5.9％から1.8％へと下がったのです。これがポートフォリオ、すなわち分散投資の威力です。

このような現象が起こるのは、それぞれの株が景気に同じような影響を受けず、補完する関係になっているからです。景気が良ければA株の恩恵を受け、悪ければB株の恩恵を受けることでこれが実現します。

より一般的に書くと、ポートフォリオのリスクとリターンは図のようなイメージで挙動します。